משוואות מקסוול הן יסודות התיאוריה האלקטרומגנטית, המהווה סט של ארבע משוואות המתייחסות לשדות החשמליים והמגנטיים. במקום לרשום את הייצוג המתמטי של משוואות מקסוול, נתמקד במה המשמעות האמיתית של משוואות אלה במאמר זה. המשוואה הראשונה והשנייה של מקסוול עוסקת בשדות חשמליים סטטיים ובשדות מגנטיים סטטיים בהתאמה. המשוואה השלישית והרביעית של מקסוול עוסקת בשינוי שדות מגנטיים ושינוי שדות חשמליים בהתאמה.
משוואות מקסוול הן:
- חוק החשמל של גאוס
- חוק גאוס חוק המגנטיות
- חוק ההשראה של פאראדיי
- חוק אמפר
1. חוק החשמל של גאוס
חוק זה קובע כי השטף החשמלי מתוך משטח סגור הוא פרופורציונלי לטעינה הכוללת שמסגרת אותו משטח. חוק גאוס עוסק בתחום החשמלי הסטטי.
הבה נבחן מטען נקודתי חיובי ש. אנו יודעים שקווי השטף החשמלי מופנים החוצה מהמטען החיובי.
הבה נבחן משטח סגור עם מטען Q הסגור בתוכו. וקטור האזור נבחר תמיד נורמלי אליו מכיוון שהוא מייצג את כיוון פני השטח. תן לזווית שעושה וקטור השדה החשמלי עם וקטור השטח θ.
השטף החשמלי ψ הוא
הסיבה לבחירת מוצר הנקודה היא שעלינו לחשב כמה שטף חשמלי עובר דרך המשטח המיוצג על ידי וקטור שטח רגיל.
מחוק קולומבים אנו יודעים כי השדה החשמלי (E) בגלל מטען נקודתי הוא Q / 4πε 0 r 2.
בהתחשב בסימטריה כדורית, הצורה האינטגרלית של חוק גאוס היא:
לכן השטף החשמלי Ψ = Q סגור / ε 0
כאן ה- Q הסגור מייצג את סכום הווקטור של כל המטענים בתוך השטח. האזור הסוגר את המטען יכול להיות בכל צורה שהיא, אך כדי להחיל את חוק גאוס, עלינו לבחור משטח גאוס שהוא סימטרי ובעל חלוקת מטען אחידה. המשטח הגאוסי יכול להיות גלילי או כדורי או מישורי.
כדי לגזור את צורתו הדיפרנציאלית, עלינו ליישם את משפט ההבדל.
המשוואה לעיל היא בצורה דיפרנציאלית של גאוס חוק או מקסוול משוואה לי.
במשוואה לעיל, ρ מייצג את צפיפות טעינת הנפח. כאשר עלינו להחיל את חוק גאוס על משטח עם מטען קו או חלוקת מטען פני השטח, נוח יותר לייצג את המשוואה עם צפיפות מטען.
לכן אנו יכולים להסיק שהסטייה של שדה חשמלי על פני משטח סגור נותנת את כמות המטען (ρ) הסגורה על ידו. על ידי יישום סטייה בשדה וקטורי, נוכל לדעת האם המשטח הסגור על ידי שדה הווקטור משמש כמקור או כיור.
הבה נבחן קובואיד עם מטען חיובי כמוצג לעיל. כאשר אנו מיישמים סטייה לשדה החשמלי היוצא מהקופסה (קובואיד), תוצאת הביטוי המתמטי אומרת לנו שהתיבה (קובואיד) נחשבת כמקור לשדה החשמלי המחושב. אם התוצאה שלילית, היא אומרת לנו שהקופסה פועלת ככיור, כלומר התיבה כוללת בתוכה מטען שלילי. אם ההבדל הוא אפס, המשמעות היא שאין בו שום חיוב.
מכאן נוכל להסיק שקיימים מונופול חשמלי.
2. חוק גאוס מגנטיות
אנו יודעים שקו השטף המגנטי זורם מקוטב צפון לקוטב חיצוני.
מכיוון שיש קווי שטף מגנטיים עקב מגנט קבוע, תהיה צפיפות שטף מגנטית קשורה (B) אליו. כאשר אנו מיישמים משפט סטייה על פני השטח S1, S2, S3 או S4, אנו רואים שמספר קווי השטף הנכנסים ויוצאים מהשטח שנבחר נשאר זהה. לכן התוצאה של משפט הסטייה היא אפס. גם במשטח S2 ו- S4 ההבדל הוא אפס, מה שאומר שלא הקוטב הצפוני וגם הקוטב הדרומי אינם פועלים במקור או שוקעים כמו המטענים החשמליים. גם כאשר אנו מיישמים סטייה של השדה המגנטי (B) בגלל חוט נושא זרם, הוא מתגלה כאפס.
הצורה האינטגרלית של חוק גאוס למגנטיות היא:
הצורה הדיפרנציאלית של חוק גאוס למגנטיות היא:
מכאן נוכל להסיק שמונופולים מגנטיים אינם קיימים.
3. חוק ההשראה של פאראדיי
החוק של פאראדיי קובע שכאשר יש שינוי בשטף המגנטי (המשתנה ביחס לזמן) המקשר בין סליל או כל מוליך, יהיה EMF המושרה בסליל. לנץ הצהיר כי ה- EMF המושרה יהיה בכיוון כזה שהוא מתנגד לשינוי השטף המגנטי המייצר אותו.
באיור שלעיל, כאשר מוליכים צלחת מוליכה או מוליך תחת שדה מגנטי משתנה, נגרם בה זרם מחזור. הזרם נגרם בכיוון כזה שהשדה המגנטי המיוצר על ידיו מתנגד למגנט המשתנה שיצר אותו. מהאיור הזה, ברור כי שינוי או שינוי של שדה מגנטי יוצר שדה חשמלי במחזור.
מחוק פאראדיי, emf = - dϕ / dt
אנחנו יודעים את זה, ϕ = משטח סגור ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS
שדה חשמלי E = V / d
V = ʃ E. Dl
מכיוון שהשדה החשמלי משתנה ביחס לפני השטח (סלסול), קיים הבדל פוטנציאלי V.
לכן הצורה האינטגרלית של המשוואה הרביעית של מקסוול היא,
על ידי יישום משפט סטוק,
הסיבה ליישום משפט סטוק היא שכשאנחנו לוקחים תלתל של שדה מסתובב על פני משטח סגור, מרכיבי התלתל הפנימיים של הווקטור מבטלים זה את זה וזה מביא להערכת שדה הווקטורי לאורך הנתיב הסגור.
מכאן שאנחנו יכולים לכתוב את זה,
הצורה הדיפרנציאלית של המשוואה של מקסוול היא
מהביטוי לעיל, ברור ששדה מגנטי המשתנה ביחס לזמן מייצר שדה חשמלי במחזור.
הערה: באלקטרוסטטיקה, התלתל של שדה חשמלי הוא אפס מכיוון שהוא יוצא רדיאלי החוצה מהמטען ואין שום רכיב מסתובב הקשור אליו.
4. חוק אמפר
החוק של אמפר קובע שכאשר זרם חשמלי זורם דרך חוט, הוא מייצר סביבו שדה מגנטי. מתמטית, אינטגרל הקו של השדה המגנטי סביב לולאה סגורה נותן את הזרם הכולל הסגור על ידו.
ʃ B .dl = μ 0 I סגורים
מכיוון שהשדה המגנטי מתכרבל סביב החוט, אנו יכולים להחיל את משפט סטוק על החוק של אמפר.
לכן המשוואה הופכת
אנו יכולים לייצג את הזרם הסגור מבחינת צפיפות הזרם J.
B = μ 0 H על ידי שימוש ביחס זה, אנו יכולים לכתוב את הביטוי כ-
כאשר אנו מיישמים סטייה בתלתל של שדה וקטורי מסתובב, התוצאה היא אפס. הסיבה לכך היא שהמשטח הסגור אינו משמש כמקור או כיור כלומר מספר השטף שנכנס ויוצא לפני השטח זהה. ניתן לייצג זאת מתמטית כ,
הבה נבחן מעגל כפי שמוצג להלן.
במעגל קבל מחובר אליו. כאשר אנו מיישמים סטייה באזור S1, התוצאה מראה שהיא לא אפס. בסימון מתמטי,
יש זרם זרם במעגל אבל בקבל המטענים מועברים עקב שינוי שדה חשמלי על פני הלוחות. אז פיזית הזרם לא זורם דרכו. מקסוול טבע את השטף החשמלי המשתנה הזה כזרם תזוזה (J D). אך מקסוול טבע את המונח זרם תזוזה (J D) בהתחשב בסימטריה של החוק של פאראדיי, כלומר אם שדה מגנטי המשתנה בזמן מייצר שדה חשמלי אז על ידי סימטריה, שדה חשמלי משתנה מייצר שדה מגנטי.
תלתל עוצמת השדה המגנטי (H) באזור S1 הוא
הצורה האינטגרלית של המשוואה הרביעית של מקסוול יכולה לבוא לידי ביטוי כ:
הצורה הדיפרנציאלית של המשוואה הרביעית של מקסוול היא:
כל ארבע המשוואות הללו בצורה אינטגרלית או בצורה דיפרנציאלית יחד נקראות כמשוואה של מקסוול.